Теорема Вієта для квадратного рівняння
Пам’ятаєте про теорему Вієта? Так, саме ті формули, за якими зручно перевіряти правильність знайдених коренів та визначати коефіцієнти многочлена. У шкільній програмі алгебри вона займає провідну роль, а відкрив її французький математик Франсуа Вієт, «батько алгебри». Про основні поняття його відкриттів ми сьогодні і поговоримо.
Що таке корінь рівняння і що означає вирішити рівняння?
Коренем рівняння називають число, яке можна підставити у рівняння замість змінної (зазвичай x) і у наслідку це дасть однакові значення виразів справа і зліва від знака дорівнює.
Наприклад: вирішуючи рівняння 2x+1=x+4, ми знаходимо відповідь: x = 3
Якщо підставити число 3 замість х, вийдуть однакові значення зліва і справа:
2x+1=x+4
2⋅3+1=3+4
7=7
І ніяке інше число, окрім трійки такої рівності нам не дасть. Значить, число 3 – це єдиний корінь рівняння.
Важливо: Корінь – це НЕ ІКС (х) ! Х – це змінна, а корінь – це число, яке перетворює рівняння в правильну рівність (в прикладі вище – число 3). І при вирішенні рівнянь ми це невідоме число (або числа) шукаємо.
Більше про квадратні рівняння, їх види та корені ми розповідали у одній із минулих статей.
Як звучить теорема Вієта?
Сума коренів x2 + bx + c = 0 дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а результат множення коренів дорівнює вільному члену.
Якщо дано x2 + bx + c = 0, де x₁ і x₂ є корінням, то справедливі два рівняння:
Фігурна дужка, якою прийнято позначати систему рівнянь, означає, що значення x₁ і x₂ задовольняють обидві рівняння.
Як довести теорему Вієта?
Дано квадратне рівняння x2 + bx + c = 0. Якщо його дискримінант більше нуля, то воно має два корені, сума яких дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а результат множення коренів дорівнює вільному члену.
Доведемо, що наступні рівності вірні:
x₁ + x₂ = -b,
x₁ * x₂ = c.
Формули коренів:
Щоб знайти суму коренів x₁ і x₂ підставимо замість них те, що відповідає їм з правої частини формул коренів. Нагадаємо, що в даному квадратному рівнянні x2 + bx + c = 0 старший коефіцієнт дорівнює одиниці. Значить після підставлення знаменник буде дорівнювати 2.
1. Об’єднуємо чисельник і знаменник в правій частині:
2. Розкриваємо дужки і наведемо подібні члени:
3. Скорочуємо дріб отриманого дробу на 2, залишається -b:
Ми довели: x₁ + x₂ = -b.
Далі проведемо аналогічні дії, щоб довести рівність x₁ * x₂ щодо вільного члену c.
1. Підставимо замість x₁ і x₂ відповідні частини з формул коренів квадратного рівняння:
2. Перемножуємо числівники і знаменники між собою:
3. В чисельнику міститься добуток суми і різниці двох виразів. Тому скористаємося тотожністю (a + b) * (a – b) = a2 – b2 і отримуємо:
4. Далі зробимо трансформації в чисельнику:
5. Нам відомо, що D = b2 – 4ac. Підставами цей вираз замість D:
6. Далі розкриємо дужки і наведемо подібні члени:
7. Скорочуємо:
Ми довели: x₁ * x₂ = c.
Отже, сума коренів наведеного квадратного рівняння x2 + bx + c = 0 дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком (x₁ + x₂ = -b), а результат множення коренів дорівнює вільному члену (x₁ * x₂ = c).
Теорема доведена.
Теорема Вієта дуже допомагає і школярам і студентам. Вона дозволяє отримувати точні числа з меншою витратою часу і сил, ніж якби рівняння вирішувалися стандартними способами і шляхами. А наша платформа допоможе підготуватися до ЗНО з математики так само легко і цікаво!