Розпочатиemoji-rocket:icon

Відповімо на усі запитання

+38 (097) 095-88-13emoji-phone:icon

Відповімо на усі запитання

Теорема Вієта для квадратного рівняння

Категорія:
Математика
Дата публікації:
20.08.2021
Теорема Вієта

Пам’ятаєте про теорему Вієта? Так, саме ті формули, за якими зручно перевіряти правильність знайдених коренів та визначати коефіцієнти многочлена. У шкільній програмі алгебри вона займає провідну роль, а відкрив її французький математик Франсуа Вієт, «батько алгебри». Про основні поняття його відкриттів ми сьогодні і поговоримо.

Що таке корінь рівняння і що означає вирішити рівняння?

 

Коренем рівняння називають число, яке можна підставити у рівняння замість змінної (зазвичай x) і у наслідку це дасть однакові значення виразів справа і зліва від знака дорівнює.

 

Наприклад: вирішуючи рівняння 2x+1=x+4, ми знаходимо відповідь: x = 3

Якщо підставити число 3 замість х, вийдуть однакові значення зліва і справа:

2x+1=x+4

2⋅3+1=3+4

7=7

 

І ніяке інше число, окрім трійки такої рівності нам не дасть. Значить, число 3 – це єдиний корінь рівняння.

 

Важливо: Корінь – це НЕ ІКС (х) ! Х – це змінна, а корінь – це число, яке перетворює рівняння в правильну рівність (в прикладі вище – число 3). І при вирішенні рівнянь ми це невідоме число (або числа) шукаємо.

 

Більше про квадратні рівняння, їх види та корені ми розповідали у одній із минулих статей.

 

Як звучить теорема Вієта?

 

Сума коренів x2 + bx + c = 0 дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а результат множення коренів дорівнює вільному члену.

 

Якщо дано x2 + bx + c = 0, де x₁ і x₂ є корінням, то справедливі два рівняння:

справедливые равенства для теоремы Виета

 

Фігурна дужка, якою прийнято позначати систему рівнянь, означає, що значення x₁ і x₂ задовольняють обидві рівняння.

 

Як довести теорему Вієта?

 

Дано квадратне рівняння x2 + bx + c = 0. Якщо його дискримінант більше нуля, то воно має два корені, сума яких дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а результат множення коренів дорівнює вільному члену.

 

Доведемо, що наступні рівності вірні:

 

x₁ + x₂ = -b,

x₁ * x₂ = c.

 

Формули коренів:

Формулы корней

 

 

Щоб знайти суму коренів x₁ і x₂ підставимо замість них те, що відповідає їм з правої частини формул коренів. Нагадаємо, що в даному квадратному рівнянні x2 + bx + c = 0 старший коефіцієнт дорівнює одиниці. Значить після підставлення знаменник буде дорівнювати 2.

формула поиска корней x₁ и x₂

 

 

1. Об’єднуємо чисельник і знаменник в правій частині:

доказательство теоремы Виета, шаг 1

 

 

2. Розкриваємо дужки і наведемо подібні члени:

доказательство теоремы Виета, шаг 2

 

3. Скорочуємо дріб отриманого дробу на 2, залишається -b:

доказательство теоремы Виета, шаг 3

 

 

Ми довели: x₁ + x₂ = -b.

 

Далі проведемо аналогічні дії, щоб довести рівність x₁ * x₂ щодо вільного члену c.

 

1. Підставимо замість x₁ і x₂ відповідні частини з формул коренів квадратного рівняння:
доказательство теоремы Виета, шаг 4

 

2. Перемножуємо числівники і знаменники між собою:
доказательство теоремы Виета, шаг 5

 

3. В чисельнику міститься добуток суми і різниці двох виразів. Тому скористаємося тотожністю (a + b) * (a – b) = a2 – b2 і отримуємо:
доказательство теоремы Виета, шаг 6

 

4. Далі зробимо трансформації в чисельнику:
доказательство теоремы Виета, шаг 7

 

5. Нам відомо, що D = b2 – 4ac. Підставами цей вираз замість D:
доказательство теоремы Виета, шаг 8

 

6. Далі розкриємо дужки і наведемо подібні члени:
доказательство теоремы Виета, шаг 9

 

7. Скорочуємо:
доказательство теоремы Виета, шаг 10

 

 

Ми довели: x₁ * x₂ = c.

 

Отже, сума коренів наведеного квадратного рівняння x2 + bx + c = 0 дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком (x₁ + x₂ = -b), а результат множення коренів дорівнює вільному члену (x₁ * x₂ = c). 

Теорема доведена.

 

Теорема Вієта дуже допомагає і школярам і студентам. Вона дозволяє отримувати точні числа з меншою витратою часу і сил, ніж якби рівняння вирішувалися стандартними способами і шляхами. А наша платформа допоможе підготуватися до ЗНО з математики так само легко і цікаво!

11-А.com.ua використовує cookie для персоналізації сервісів і аналітики користувачів. Продовжуючи використовувати даний сайт, ви підтверджуєте свою згоду на використання файлів cookie та умови публічної оферти. Ми серйозно відносимось до захисту персональних даних.